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Die algebraische Geometrie untersucht Systeme polynomieller Gleichungen, die sich einerseits mithilfe der kommutativen Algebra als Ideale in Polynomringen beschreiben lassen, andererseits aber auch geometrisch als deren Lösungsmengen – sogenannte algebraische Varietäten – interpretierbar sind. Dieses seit über zwei Jahrhunderten fruchtbare Wechselspiel zwischen algebraischer und geometrischer Sichtweise wird durch Hilberts Nullstellensatz als grundlegendes „Wörterbuch“ zwischen beiden Bereichen anschaulich vermittelt.
In der Mitte des 20. Jahrhunderts wurde dieses Wörterbuch durch Grothendieck formalisiert, was zur Entwicklung der Schematheorie führte. Die Sprache der Schemata ermöglicht einen einheitlichen Zugang zu Algebra, Geometrie, Zahlentheorie und Topologie und verbindet Konzepte, die zuvor in getrennten Teilgebieten der Mathematik angesiedelt waren.
Parallel dazu wurden zentrale Objekte der algebraischen Geometrie algorithmisch erschlossen. Dies eröffnete ein produktives Zusammenspiel von theoretischer Forschung, algorithmischer Umsetzung und computergestütztem Experiment. Solche Verfahren sind heute unverzichtbar – nicht nur in der Geometrie, Zahlentheorie und Kryptographie, sondern auch in der Darstellungstheorie.
Unsere Arbeitsgruppe beschäftigt sich unter anderem mit algebraischen Flächen, Invariantentheorie, asymmetrischer Kryptoanalyse, codierungsbasierter Kryptographie, Darstellungstheorie, algebraischer Kombinatorik und Zahlentheorie. Darüber hinaus werden Schnittstellen zur algebraischen Topologie, höheren Kategorientheorie und mathematischen Physik erforscht, insbesondere im Hinblick auf algebraische Strukturen in Feldtheorien. Ein weiterer Schwerpunkt liegt in der Quantengeometrie, in der mathematische Strukturen entwickelt werden, um Quantisierungsprozesse physikalischer Systeme und deren Dualitäten mit Methoden der komplexen algebraischen Geometrie, der Darstellungstheorie und der Zahlentheorie zu beschreiben.