Chi conosce la geometria, può comprendere tutto in questo mondo. (Whoever understands geometry is able to understand everything in this world.) – Galileo Galilei

Geometrie und Topologie spielen sowohl in der Anwendung als auch in der mathematischen Grundlagenforschung eine zentrale Rolle. Beide untersuchen verschiedene Aspekte von Formen, Räumen und deren Beziehungen: Wann sind zwei Formen gleich oder äquivalent, und wie kann man ausdrücken und messen, wie ähnlich zwei Formen sind?

Die beiden Fachgebiete haben eine unterschiedliche Perspektive auf diese Frage. In der Geometrie geht es hauptsächlich um quantitative Aspekte. Geometrische Größen wie Länge, Winkel, Fläche und Volumen spielen eine zentrale Rolle. Die Topologie konzentriert sich mehr auf qualitative Aspekte: Kann eine Form unabhängig von ihrer Größe kontinuierlich in die andere verformt werden? Haben zwei Formen die gleiche Anzahl von Löchern? Oft gibt es eine direkte Verbindung zwischen geometrischen und topologischen Eigenschaften, und das Zusammenspiel von Methoden aus beiden Bereichen kann zu verblüffenden Erkenntnissen führen. Aus diesem Grund werden diese beiden Gebiete gemeinhin als eins betrachtet.

Geometrie

Die Geometrie an unserem Fachbereich umfasst ein Spektrum, das von der klassischen Differential-, Projektions- und Inzidenzgeometrie bis hin zu algebraischen und kombinatorischen Aspekten der Geometrie reicht.

Diese Teilgebiete ermöglichen eine ganzheitliche Betrachtung von Forschungsthemen aus verschiedenen Blickwinkeln: rein geometrisch, algebraisch und analytisch sowie diskret. Der Schwerpunkt liegt auf grundlegenden Aspekten geometrischer Strukturen sowie auf konkreten Anwendungen, die ein tiefes geometrisches Verständnis zur Analyse oder Visualisierung von Strukturen erfordern.

Topologie

Unsere Forschung im Bereich der Topologie reicht von der reinen bis zur angewandten Topologie, wobei der Schwerpunkt auf Themen wie höheren Kategorien, topologischer Feldtheorie und höherer Kobordismustheorie auf der reinen Seite liegt, sowie auf topologischer Datenanalyse, persistenter Homologie und diskreter Morse-Theorie auf der angewandten Seite.

Höhere Strukturen finden nicht nur in der mathematischen Physik Anwendung, sondern auch in der Topologie, der algebraischen Geometrie und der Darstellungstheorie, die in den Forschungsbereichen der Gruppe vertreten ist.

In der angewandten Topologie ist ein Hauptthema die Identifizierung von Konnektivität in Datensätzen auf verschiedenen geometrischen Skalen, mit eindrucksvollen Anwendungen, die für traditionelle Methoden der Datenanalyse unzugänglich sind.